Cek Keterbagian Suatu Bilangan dengan 2^n, 3, 9, dan 11


Keterbagian 2,4, dan 8
Apakah bilangan 34  habis dibagi dengan bilangan : 2,4, dan 8? Selama ini, cara yang lazim digunakan adalah sebagai berikut.

34/2 = 17, sisa = 0
34/4 = 8, sisa = 2
34/8 = 4, sisa = 2

Jika sisa=0, berarti bilangan tersebut habis dibagi. Jika sisa != 0, berarti bilangan tersebut tidak habis dibagi. Nah, sekarang cek apakah bilangan 173332 habis dibagi dengan :2, 4, dan 8? Sama aja caranya. Namun butuh waktu lebih banyak untuk menyelesaikannya. (atau biar cepet pake kalkulator aj.)  Gimana kalo bilangannya semakin besar? Jutaan, Milyaran, Triliunan? Dan ga pake kalkulator?

Ada cara yang lebih gampang untuk mengecek keterbagian suatu bilangan dengan bilangan 2,4, 8, atau bentuk umumnya 2^n. Kaidah yang digunakan adalah sebagai berikut.

A1. Untuk n = 1, berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi

A2. Untuk n = 2, berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.

A3. Untuk n = 3, berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.
dst..

Bentuk umum dari kaidah2 tersebut adalah :

Suatu bilangan habis dibagi 2^n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n.

Dengan kaidah2 tersebut, kita dapat mengecek keterbagian 173332 dengan 2,4, atau 8 secara mudah.

  • Pembagian dengan 2

Angka terakhir dari 173332 adalah 2. Karena 2 habis dibagi 2, maka 173332 juga habis dibagi 2.

  • Pembagian dengan 4

2 bilangan terakhir dari 173332 adalah 32. Karena 32 habis dibagi 4, maka 173332 juga habis dibagi 4.

  • Pembagian dengan 8

3 bilangan terakhir dari 173332 adalah 332. Karena 332 tidak habis dibagi 8, maka 173332 juga tidak habis dibagi 8.

Jadi gampang kan?🙂 Sekarang pertanyaannya, mengapa kaidah ini bisa bekerja? Ini dia salah satu buktinya.

Bukti kaidah A2.

Misalkan bilangan itu :

, dapat dinyatakan dalam bentuk lain menjadi 

Karena bilangan  pasti habis dibagi 4, agar a habis dibagi 4 maka   haruslah habis dibagi 4 juga.

Karena bilangan pasti habis dibagi 4, agar a habis dibagi 4 maka   haruslah habis dibagi 4 juga.

Coba berikan bukti untuk kaidah A1 dan A3, atau untuk n>3😉

Dengan kaidah tersebut, mengecek keterbagian bilangan 182978249583748932478832296 dengan 2, 4, atau 8 jadi ga sulit lagi🙂

Keterbagian 3,9, dan 11

Untuk keterbagian suatu bilangan 3, 9, dan 11, kaidah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah

B1. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya ( habis dibagi 3.
B2. Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya ( habis dibagi 9.
B3. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah-silang tanda-ganti angka-angkanya ( habis dibagi 11.

Ini dia bukti dari kaidah B1 dan B2

dapat dipilah menjadi 2 bagian. Bagian pertama adalah jumlah semua suku yang merupakan kelipatan 9 yang dilambangkan dengan   dan bagian kedua dengan jumlah angka-angka :

Maka :

Karena   habis dibagi 3 atau 9, agar   habis dibagi 3 atau 9, maka  haruslah habis dibagi 3 atau 9 pula.

(Yang B3 sampe sekarang aku belum nemu buktinya😦 Tolong cariin donk! )

Coba kita cek bilangan 81809525853 apakah habis dibagi 3, 9 , atau 11

Jumlah angka-angka dari 81809525853 adalah 8+1+8+0+9+5+2+5+8+5+3 = 54.

Karena 54 habis dibagi 3, maka 81809525853 juga habis dibagi 3

Karena 54 habis dibagi 9, maka 81809525853 juga habis dibagi 9

Jumlah-silang tanda-ganti dari 81809525853 adalah 8-1+8-0+9-5+2-5+8-5+3 = 22.

Karena 22 habis dibagi 11, maka 81809525853 juga habis dibagi dengan 11.

(Wew keren. Ternyata nomor hpku habis dibagi 3, 9 dan 11 yah?hihi3..)

20 thoughts on “Cek Keterbagian Suatu Bilangan dengan 2^n, 3, 9, dan 11

  1. waduuuh..tobat…tobat…sakit perut sama ama pelajaran satu ini.
    btw, kenapa gak nyusul saya kuliah di sini aja siiih ??
    temenmu kayaknya ada tuh yg ketrima di MIT

  2. @simplyah : pengen dech mba’ kul di sana. gmn yah caranya? tapi tampang arab gini apa bisa?ntar disangka teroris, hehe

    @nenyok : kembali kasih🙂

  3. Okey…

    Untuk suatu bilangan x positif, sebut saja bilangan2nya itu a1a2…an

    Maka a1a2…an habis dibagi 7 jika a1a2…an-1 – 2 * an habis dibagi 7 juga…

    Sebagai contoh…

    20538
    2053-2*8 = 2037
    203-2*7 = 189
    18 – 2*9 = 0

    karena 0 habis dibagi 7, berarti 20538 habis dibagi 7…

    Buktinya? Hmmm, agak lupa😛

  4. mas ghifar bisa ga minta tlng krimin file yang Keterbagian 2,4, dan 8…..ke emailq (ifah_cute3@yahoo.com)??tlng mz ya thank buat mzz

  5. Bisa lah pastinya. anak ITB gitu looh…
    Emang ada apa dengan tampang arab ?
    Temen2ku disini banyak yang anak Pakistan dan tampangnya lebih “arab” dari kamu hahahhaa..
    Hayooo…seru banget lho sekolah disini walopun sangat competitive.

    *hubungi saya di japri kalo mau tau infonya yaa…

  6. Lebih gampang lagi kalo pake biner :p

    Kalo N digit terkanan itu 0, berarti itu habis dibagi dengan 2^N.

    Masalahnya adalah ngubah jadi desimal ke biner, tapi masak anak IF gak bisa mikir dalam biner😀

  7. @simplyah : iya deh mba’, di pikir2 dulu ni, thx infonya🙂

    @Yohanes Nugroho : WeW, IF Perspective, hehe. Tapi males juga mas nge-convert 182978249583748932478832296 ke biner dulu tanpa tools. Ato akunya aj yang bego yang ga bisa convert bilangan sebesar itu mencongak? hehe…

    Btw, klo boleh, kapan2 aku berguru yah sama mas Yohanes Nugroho, sang Senior Programmer,🙂

  8. Hehehe, itu cuma becanda aja. Tapi kalo bilangannya kurang dari 2^32 sih masih gampang🙂

    Kalo kamu angkatan yg lebih tua, bisa berguru live😀. Antara 2000-2003 saya ngajar Struktur data dan OOP bersama Bu Inge dan pemrograman sistem bersama pak Riza.

    FYI, ini beberapa link mengenai divisibility untuk melengkapi pengecekan keterbagian dgn bilangan2 lain:

    http://www.mathgoodies.com/lessons/vol3/divisibility.html

    dan

    http://www.jimloy.com/number/divis.htm

  9. @Yohanes Nugroho : wow, thx a lot ! Wah ternyata pak dosen juga ni.

    Btw, Bu Inge dah jarang di kampus sekarang, Pak. Angkatan2 di bawahku (mulai ang 2006) dah ga diajar sama Bu Inge lagi. Kalo Pak Riza kemaren sempet ketemu di kuliah Pemrograman Internet.🙂

    Pak Yohanes di IF angkatan berapa?

  10. Saya angkatan 1998.

    Koreksi dikit tulisan saya di atas, saya ngajar progsis dgn Pak Riza 2000-2003 (beneran!) dan Stuktur Data dan OOP dgn bu Inge 2003-2006.

    Bu inge lebih sering di DEL. Saya masih kontak dgn beliau dan baru saja nulis paper dgn beliau.

  11. mao nanya nieh
    gimana cara nyari berapa jumlah bilangan ganjil yang habis di bagi tiga antara 100–200
    tlg kirimke email au y
    thanks

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s