Cek Keterbagian Suatu Bilangan dengan 2^n, 3, 9, dan 11

Keterbagian 2,4, dan 8
Apakah bilangan 34  habis dibagi dengan bilangan : 2,4, dan 8? Selama ini, cara yang lazim digunakan adalah sebagai berikut.

34/2 = 17, sisa = 0
34/4 = 8, sisa = 2
34/8 = 4, sisa = 2

Jika sisa=0, berarti bilangan tersebut habis dibagi. Jika sisa != 0, berarti bilangan tersebut tidak habis dibagi. Nah, sekarang cek apakah bilangan 173332 habis dibagi dengan :2, 4, dan 8? Sama aja caranya. Namun butuh waktu lebih banyak untuk menyelesaikannya. (atau biar cepet pake kalkulator aj.)  Gimana kalo bilangannya semakin besar? Jutaan, Milyaran, Triliunan? Dan ga pake kalkulator?

Ada cara yang lebih gampang untuk mengecek keterbagian suatu bilangan dengan bilangan 2,4, 8, atau bentuk umumnya 2^n. Kaidah yang digunakan adalah sebagai berikut.

A1. Untuk n = 1, berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi

A2. Untuk n = 2, berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4.

A3. Untuk n = 3, berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.
dst..

Bentuk umum dari kaidah2 tersebut adalah :

Suatu bilangan habis dibagi 2^n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2^n.

Dengan kaidah2 tersebut, kita dapat mengecek keterbagian 173332 dengan 2,4, atau 8 secara mudah.

• Pembagian dengan 2

Angka terakhir dari 173332 adalah 2. Karena 2 habis dibagi 2, maka 173332 juga habis dibagi 2.

• Pembagian dengan 4

2 bilangan terakhir dari 173332 adalah 32. Karena 32 habis dibagi 4, maka 173332 juga habis dibagi 4.

• Pembagian dengan 8

3 bilangan terakhir dari 173332 adalah 332. Karena 332 tidak habis dibagi 8, maka 173332 juga tidak habis dibagi 8.

Jadi gampang kan? 🙂 Sekarang pertanyaannya, mengapa kaidah ini bisa bekerja? Ini dia salah satu buktinya.

Bukti kaidah A2.

Misalkan bilangan itu :

, dapat dinyatakan dalam bentuk lain menjadi 

Karena bilangan  pasti habis dibagi 4, agar a habis dibagi 4 maka   haruslah habis dibagi 4 juga.

Karena bilangan pasti habis dibagi 4, agar a habis dibagi 4 maka   haruslah habis dibagi 4 juga.

Coba berikan bukti untuk kaidah A1 dan A3, atau untuk n>3 😉

Dengan kaidah tersebut, mengecek keterbagian bilangan 182978249583748932478832296 dengan 2, 4, atau 8 jadi ga sulit lagi 🙂

Keterbagian 3,9, dan 11

Untuk keterbagian suatu bilangan 3, 9, dan 11, kaidah yang dapat digunakan adalah sebagai berikut.

Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah

B1. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya ( habis dibagi 3.
B2. Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya ( habis dibagi 9.
B3. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah-silang tanda-ganti angka-angkanya ( habis dibagi 11.

Ini dia bukti dari kaidah B1 dan B2

dapat dipilah menjadi 2 bagian. Bagian pertama adalah jumlah semua suku yang merupakan kelipatan 9 yang dilambangkan dengan   dan bagian kedua dengan jumlah angka-angka :

Maka :

Karena   habis dibagi 3 atau 9, agar   habis dibagi 3 atau 9, maka  haruslah habis dibagi 3 atau 9 pula.

(Yang B3 sampe sekarang aku belum nemu buktinya 😦 Tolong cariin donk! )

Coba kita cek bilangan 81809525853 apakah habis dibagi 3, 9 , atau 11

Jumlah angka-angka dari 81809525853 adalah 8+1+8+0+9+5+2+5+8+5+3 = 54.

Karena 54 habis dibagi 3, maka 81809525853 juga habis dibagi 3

Karena 54 habis dibagi 9, maka 81809525853 juga habis dibagi 9

Jumlah-silang tanda-ganti dari 81809525853 adalah 8-1+8-0+9-5+2-5+8-5+3 = 22.

Karena 22 habis dibagi 11, maka 81809525853 juga habis dibagi dengan 11.

(Wew keren. Ternyata nomor hpku habis dibagi 3, 9 dan 11 yah?hihi3..)